上班时有个学生跑来找我。
一时间我真不知道说什么好。这个想法实际上早在欧几里得之后六百年就由亚历山大里亚时期著名的数学家巴普斯提出过，是一种简化得多的证明方法。通过想象这个二维空间的三角形可以被“拾起来”，并在三维空间里“翻转”，它预先采用了现代的对称与变换的办法，但是欧几里得肯定会把这看成作弊。
“还记得有一次你认为翻转图形比用全等三角形一步步推理更直观，更有说服力吗？就是这个意思：我不觉得那些用计算机支撑的证明具有说服力。”
我过去那个确定而简单的生活结束了，想到要面对父母的失望让我几乎无法承受。露西是我唯一的希望。
我摇摇头，解释起来太让人泄气了，“数学不像实验科学，我们研究的不是实有的东西，它的证明不能基于所谓的‘迹象’。我们运用的是逻辑。如果不知道一个结论怎样由基本定理层层衍生而来，你就不能接受它。定理很重要，不光因为它是正确的，还因为为什么它是正确的。因为我们需要直观地抓住真理，所以要求证明要具有正确的美感。”
露西哼了一声，“我敢打赌，有争议是因为他们只说了一句：‘看！给咱一幅地图，什么样的都行，咱都能用四种颜色标出来！看到了吧？’然后其他数学家都对他们说：‘那可不行，那是现实的做法。’”
“谢谢你。”说完我挂断了电话。
我平复着自己的心情，“你知道四色理论吗？”
“我从不觉得数学证明有何美感。”
“你知道，我一直都很羡慕你。”露西说。
“只要把它翻过来。”露西打断我说。
我摘下眼镜给她戴上，虽然爸爸警告过我，说露西太小了，不能盯着增强显示屏看。
“我们现在看到的火烈鸟只有人们草坪上的那些塑料，”她说，“真正的火烈鸟生存状况不容乐观，可能是因为它们没有学会怎样适应人类。”
我反驳道：“你不能这样。古希腊的数学家考虑过你这种方法，他们觉得这样做不好。”
她是该休息一下了。
我点点头，也不是真的听懂了。
我们停在“草的海洋”景区，站在一个小湖的岸边，有二十来只短吻鳄浮在那里心满意足地晒太阳，离我们不过五十码远。离岸较远的地方，一群粉红琵鹭正优雅地浮在水面上。刚开始我以为那是火烈鸟，直到后来露西告诉我，野生火烈鸟早在几十年前就从佛罗里达的沼泽地里绝迹了。
我在两行课桌中间的过道上徘徊，偶尔停下来检查一两个学生的作业。这是一群12岁的聪明孩子，下个秋天我打算鼓励其中几个考虑一下学习高级预备微积分。
“你看，”我对她说，“这两个角相等。”
“欢迎回归生活，哥哥。”露西启动了汽车。天色渐渐暗下来，我们得回她家中去了。“我们都要学会接受改变。你想成为一只乌鸦还是一只火烈鸟？”
“用不着。底座里有一台小型发电机连接你的动脉，能通过血液流动产生动力。移植片上还有一根极细的纤维光缆穿过视盘进入你们的眼睛。”露西和我听到后都打起了退堂鼓。“别担心，那个地方是你们的盲点，所以不会影响视觉。纤维光缆能让移植片把图像投射到你们眼球的水晶体上。这样一来，信息就会覆盖在你们的视野上。”
作为哥哥，我有责任告诉她世间的种种危险，于是我向她解释，这种“黄色的橙子”不是直接拿来吃的。“你肯定会后悔的。”我说。
露西不情不愿地回去画图。“它确实在动呀！”她屏着气嘟囔道。
“帮帮我，乔。”一天下午她隔着桌子对我说，“你是我唯一的希望。”
四周是一片锯齿草的海洋，秋葵、橡树、枫树和朴树点缀其中，有时还能看到一些只比周围的泥灰土草原高那么几寸的小岛。路上只看到我们这一辆车，露西的脚一直踩在油门上。我坐在副座，听到一连串微弱的砰砰声，那是巨大的苍蝇和蚊子撞在挡风玻璃上猝死的声音。
我妹妹露西快四岁的时候，有一天，她在冰霜里找到半只用保鲜膜包裹着的柠檬。
露西把一只手稳稳地放在我的肩膀上，“乔，和我说说吧。”
我的小妹妹已经完全长大了，现在轮到她来保护我了。
“我……我在想那些死去的火烈鸟。”我咽了一口口水，“它们只是以一贯的方式在生存，突然间周围的世界连招呼都不打就变了，它们也难以为继。这不公平。”
“露西，我——”
我想起那些乌鸦耐心地等在公路上，我们的车刚一驶过它们就急切地跳到高速公路上。
“只要把三角形翻过来。”
大约每十个人当中就有一个不支持增强视觉移植，遇到这种情况，身体会无情地攻击机器和大脑的接口，导致失明甚至更坏的结果。问题产生的原因尚未明确，但医学界一致认为有可能是遗传造成的；似乎有一些大脑不支持硬件升级。
我望着她，从自伤自怜中吃惊地走出来。
“为什么不行？”
我有些失望，但还不至于极度沮丧。和我已经习惯了的增强现实眼镜相比，一个增强视觉移植片好像只不过是前者的升级版。它们很流行，也许挺管用，但还不是必不可少。
“这些证明不会麻烦到你，”我说，“如果你有硬件可以帮助理解的话。”
我对她的担忧进行了驳斥。我告诉她，这些视频里宣称的智力提升是虚幻的。增强现实技术最终不能代替你思考，而思考才是真正重要的。我的增强现实眼镜能让学习、查找东西和进行繁重枯燥的运算变得容易，而增强移植片有可能更胜一筹。但是这类工具就好比计算尺和计算器，同数学推理所需要的在层层的抽象概念中游刃有余的能力和纯洞察力相比，它们对于数学家来说最终都不重要。
但露西不大相信——我不得不向她演示我是怎样得到这个结论的。
“我该怎么更换里面的电池？”我只不过想开个玩笑。
我喜欢那种豁然开朗时无比幸福的宁静，论证环环相扣，直到最后整合在一起，就像一列多米诺骨牌，最开始一个逻辑性的推动，然后一发不可收拾，漂亮地倒向最后的结论。这是柏拉图式的天籁之音，正因如此我才深爱着数学……
“证明完毕。”
然后，砰！有人发明了一种能升级人类大脑的办法，而我身体里某个讨厌的基因让我不可能升级，那我是不是就该全部放弃？这样的不公平简直让我愤怒至极！
“隐形眼镜显示器没有智能，并且只能在你眼睛聚焦的基础上显示信息，而不能显示你脑子里想什么。”我看得出医生对于这种极外行的问题缺乏耐心，“但是你的大脑不停地在和眼睛对话，大部分视觉信息来自于视皮层，而不是大脑传给它的。视觉移植片连接你的视皮层，这样它们就可以作用于眼睛-大脑的反馈回路。它们能让你看到原先只能想象的东西，那是一种完全不同的体验。”
“我想我们失去了一个好机会。”露西说。
“你没跟上，对吧？”他停下阐释，脸沉了下来。我念七年级时，有一次热情洋溢地跟我的数学老师解释我自己对斯托克斯定理的推导，然后也给过她这个表情。我解释时她一直在点头，但到最后，我知道她并没有理解。这是我第一次发现自己可以看见老师看不到的模式。
译/苏宁宁
“我卡壳了。”
医生说话的声音十分平缓，颇有同情心，一听就是要带来不好的消息。我正在外面做最后的圣诞采购，周围人头攒动。我塞上另一只耳朵，认真倾听电话里传来的细微的声音。
每当露西追踪到我们在地球上的活动所引起的又一个深远影响时，她的眼睛炯炯有神，脸上洋溢着幸福的光彩。这让我想起每次我攻克一个特别难的论证后看到的一气呵成，每个逻辑步骤环环相扣，共同构成一个和谐整体的那种美。
这是一段演示，告诉人们如何更好地利用他们的增强移植片。解说者是一名化学家，正解释移植片对他工作上的帮助。
对于露西来说，理性永远赶不上体验。
我们在游客中心停下，方便我挑选几张明信片。从停车场到迎客中心的一小段路里，拇指大的蚊子和苍蝇在我们周围飞来飞去，还好露西准备了杀虫剂。
“它们在等待驶过的汽车上面弹下死虫子，对吗？”
我们欣赏着这片景致，直到喷完了杀虫剂。
我曾以为那种和谐是精神上的东西，它超凡脱俗，好比天籁之音。但正如露西向我展示的那样，这片荒野受到人的限定，为人类活动所改变，被赋予意义，我现在明白那种和谐的愉悦感，那种有关正确和理解的判断，都是被我自己的感观所限定、改变和赋义。我只有理解了才能感到愉悦，而我的身体只有适应了科技的进步我才能理解。我自己也是一块受人干扰的栖息地。
她正在做自己的第一道实证题，每一个刚开始学习几何的学生都讨厌这个题目：欧几里得的等腰三角形定律，要求学生证明等腰三角形的两底角相等。
他开始阐述起来。听了30秒钟后，我知道自己有麻烦了。他很清楚自己在说什么。我前面花了好几天时间才仅仅得到关于这类布局和它们整体之间相互联系的一个模糊画面，但他说起来头头是道，就像你介绍自家书架上书籍分类的那种感觉。每当他停下阐释看着我的时候，我只好含混地点头附和。
“但那也太蠢了。你看，我刚才做到了。”
“什么？”
我情不自禁地跟着她哈哈大笑，想起了我们过去一起做作业的日子。
“当我阅读一份关于蛋白质折叠的新算法的论文时，我在脑海里描绘它是怎样工作的。移植片抽取我脑中的这些图像，并将它们投影到我的眼睛里，让我可以真正地看见它们。”
露西笑了，“现在你知道那些高速公路上的乌鸦在做什么了吧？”
数学是我一生热爱的东西，我一直都很擅长。我一心扑在上面，牺牲了睡眠和社交活动。我梦想能声名远播，取得惊人的发现。
我问她要眼镜，好知道她的老师都给了哪些提示和解题办法。我盯着练习本上的图形，看到她的老师在三角形的两边加了两条辅助延长线，线段BD的长度等于线段CE。这是欧几里得的经典解法，由延长线形成的两个全等三角形可以用于证明。
我得知在佛罗里达、乔治亚、亚拉巴马和卡罗来纳的农场上所使用的杀虫剂和除草剂，通过风或者水，最终都飘到了沼泽地，沼泽地里的所有物种要么适者生存，要么死路一条。我得知公园里短吻鳄和水鸟的数量随公园游客及几千英里之外的居民的生产、娱乐活动而起伏波动。我还得知地球上没有哪寸土地能逃避人类的影响。所有的栖息地都受到了人的干扰，只是程度深浅的问题。过去几千年的自然界历史，就是人类无情地将生物圈变为以人为中心的共牺生物群的历史。
我弯下腰检查她的笔记本。在一片一丝不苟、密密麻麻的手书当中，她列出了每一个定理、每一个推导、每一个对应项。一行行的符号一个接一个，小心、精确，仿佛一排不通向任何地方的枕木。
当我跟她讲解证明步骤，在三角形上做标记，确定公共边和公共角，引证每一步该用的公理和定理时，她始终憋着一肚子的气，一声不吭。
我的眼睛突然不大舒服，我转过脸去。
“哦。”她眼睛一亮，“我懂了。”
她惊讶地放大了瞳孔，因为现在无论她看什么，上面都飘浮着一层幽灵般的文字和影像。我把它设置成显示《儿童百科全书》里的内容，而且知道当她望向那只柠檬时眼里会看到什么：一个半透明、循环影像的年轻女子舔完柠檬后扮了个鬼脸；一行滚动文字显示：柠檬汁里有5%是柠檬酸。“那差不多是橙汁酸性成分的五倍。”我卖弄起自己的数学能力，“所以意味着它真的特别酸。”
“怎么了？”露西问。
“你只要多加练习，不久后就能把它记在脑子里，变成你的直觉一样。暂时忘了移动图形那套吧。”
她从我手里接回那张纸，现在她知道要用到的是哪些角和哪几个全等三角形了。我看着她写完最后几个证明步骤。一切都很契合。安宁，和谐。
露西向我展示了更多的视频：一些设计师称移植片反馈的画面能让他们更有效地进行创作，作品也更具独创性；一些医生称移植片能让他们把最新研究与源于经验的直觉和本能相结合；患有孤独症的孩子们说移植片能让他们理解其他人的面部表情和身体语言里所包含的情绪，并能将它们和自己的情绪状态联系起来。
他视野中的模型开始变化，显示出两条、四条、八条、十六条长长的分子链在空间折叠、旋转，方式各不相同。
“你的论证依赖于移动图形，但是就你现在的知识水平来讲，还不够充分地定义‘翻转’和‘移动’。你不能用它们作为论证技巧。”
“是的。”她说，语气有些不确定。
她的太阳穴上闪过一道银光——如今他们这么早就开始用这些东西了。
“别，让我说完。我只能学会在一幢由你支配一切的房子里寻得自己的一席之地。我没法阅读得和你一样快，那我就只能学会认真地选择要读的书。我永远不可能像你那样精于数学，所以我就选择定量推理要求低一些的科目。我不可能像你那样讨老师们喜欢，所以我只能学会在其他地方寻求赞扬。
“喂，是乔吗？”
我把眼镜还给她，开始向她解释怎样以严密有序的方式来思考这个问题。但是露西很快就不耐烦了，在她看来，欧几里得就是个死板的傻瓜。
她用铅笔在纸上把三角形的形状重重地描了一遍，然后撕下那张练习纸，把它翻过来，将镜像图和铅笔在纸上留下的描痕合在一起。
他脸上的兴奋显而易见。也许他有一点夸大效果，但我想我明白他的意思。最开始得到那副增强现实眼镜时，我也诧异于自己居然能办到那么奇妙的事。只要在眼镜上设置正确的模式，我就能获得词语的定义、事物的百科解说，对于复杂的算术题也能瞬间得到答案。我一下子觉得聪明多了。
露西的基因和我一样，也不能接受增强视觉移植片。对于这个消息我没有过多在意，但她把这件事看得很严肃，开始着手调查我们这种缺陷意味着什么。
“我想错了，”我对露西说，“这些移植片不同于计算器，它们不仅仅只是一种工具，它们能改变人类视觉思维的能力。植入了增强视觉移植片的学生积极思考时能同时构造三百个形象，简单得就像我构造两个形象。他们的确更加聪明。他们真的可以看到我无法看见的模式。”
我点点头。四色理论很有名，就连不太懂数学的人都略知一二，因为它容易解释，还很形象。但是长期以来，它只是一个推测。
“你说中了。因为汽车在公园里都开得非常快，而这里的虫子又特别大，整天都有大量的蛋白质落到柏油路上。所以，公园里的乌鸦学会了在9336号公路沿线觅食。”
“我干吗非得弄这个，干吗不用非侵入性的增强显示触点呢？”露西问。
“我们不会受影响的。”我说。我从基本原理中推理，我的逻辑看起来无懈可击。
“我需要在你们身上先做几个运行实验，”医生说，“下周我会打电话通知你们结果。麻烦出去时在前台预约一下年后手术的时间。”
露西看起来朝气蓬勃，她在生物学初级研究员的新职位上干得不错。感觉到我可能还需要一点时间调整，于是她接过了讲话活跃气氛的工作。她说了一些有关她同事的趣闻，还有一些工作上的乐事和挑战。我很感谢自己只需要在一旁倾听。
“更绝的是，移植片能让多个视觉模型在我眼前同时并行工作。接受移植片之前，我脑海中最多只能一次构建两个选项，但现在，就像在大脑里装上了新的存储器，能让我掌握许多个在脑海中同时全速运行的选项。我真的感觉自己好像聪明了十倍。”
“当我看见投影到眼中的图像时，只要想一想就可以立刻改变它。能在大脑中真正看到这个演算，利用它就容易多了。好像只要我运用大脑，就有办法立即创建一个模型然后操纵它。”
“一次纯天然的洗车。”我说。
我最终把事情告诉了她。
“当然可以。”她的声音很平静，颇使人安慰。她没有询问细节，也没有要求解释，只是单纯地接受了我的要求。“把旅行计划用邮件发给我。”
“那是说任何一幅地图都可以只用四种颜色绘成，对吧？”
那年春天，我被派去教大学本科生的图论课。有一天晚上，作为一个小实验和玩笑，我给我们班布置了艾普尔和哈肯的证明当作业，并不指望有人真的能跟着完成。我的目的是想就数学直觉的局限问题激发一些有想法的讨论。
我们继续开车。现在我了解了乌鸦们的意图，也愈发地好奇。但不知怎么，它们依赖飞车游客为生的那种闲散的态度却让我感到不安。我原以为佛罗里达的国家公园沼泽是一片人类未曾染指的净土，是纯天然的无瑕景致，可一想到乌鸦们成了汽车的寄生虫，这着实令人不悦。
我拿起她做的图，用她的尺子做指引，把等腰三角形的中间折起来。我把纸举起来对着光线。
“看看这个。”她说着，亮给我一段网上找到的视频。
我跳了几级，提前进入大学。我对自己的年龄比同学们小这一点颇为紧张，所以入学后我没有住校，而是仍然住在家里。每天下午，露西和我一起坐在餐桌前，她做她的作业，我做我的习题。
回车上去时，我看到三只乌鸦从车顶飞到附近的地上，其中一只的嘴里露出一对蛾子翅膀。我走近一看，只见露西车上的挡风玻璃原先一路驶来堆了许多昆虫尸体，这时竟然都被清理干净了。乌鸦把露西的车当成了餐车。
我读大学的最后一年，父母为我和露西准备的圣诞礼物是增强视觉移植片。这是一套全新的装置，非常昂贵。
“哦？”我一听乐了。每年都有些学生自以为找到捷径，而我总是一次次地指出他们推理上的漏洞，令他们失望。
“呀！我还从没见过黄色的橙子呢！”她抓起柠檬张嘴就要咬。
她总是偏重实用的那个，她崇尚有用的解决办法。正是这个原因，当我遇到危机时总会想到求助于她。只要她从容地到场我就感觉好多了。
露西在佛罗里达市接我，我们开车行驶在9336号公路上，这是穿越佛罗里达国家公园沼泽地的唯一一条高速公路。虽然才刚到四月，但对我来说已经太热、太潮湿了，因为我读研时一直待在新英格兰，早已习惯了那里寒冷的春天。
但没过多久，我发现这种自我感觉良好其实只是一种幻觉。能即时访问信息并没有真的让我变聪明。这副眼镜仅仅是一种工具，就像一个确实很好很快的计算器。我还是得靠自己去理解那些概念。
屏幕分成两半在演示他的移植片的工作情况。一条长长的分子链的半透明模型，在他的视野中盘旋，自行折叠、盘绕，形成一个复杂的结。
“没有，好些个独立团体进行了复查，没有发现任何错误……但给人感觉不对劲儿。证明不应该是拿着一张列有1476种可能性的大单据，让你一个个去跟踪。你的大脑早已看不到整体的模式。而那仅仅只是个开端，从那以后，其他一些定理的证明也开始依靠计算机来验算成千上万种可能性。”
露西瞟了一眼那些乌鸦，咧开嘴笑道：“你会明白的。”
对露西来说，这样的历史并非绝望的源泉。我们仅仅是大自然伟力的体现，是这片荒野的一部分，是这亘古以来变迁长河中的一股激流。每个人都能从那些入乡随俗的乌鸦身上学到些东西。
“啊哈，”露西说，“我就知道，根本用不着麻烦地证明什么愚蠢的全等三角形。”
我没有看到让乌鸦们赖以为生的其他动物。那些乌鸦三三两两地出现在高速公路沿线，它们有目的地停在那里，仿佛等待什么事情发生。当我们的车驶过时，它们齐刷刷地对我们行注目礼。透过后视镜，我看到它们不慌不忙地跳到我们身后的公路上。
“这里，”医生指着头颅模型上眼眶后面的一片区域说，“是我们要放入移植片的地方。我建议你们搞一套组合底座，贵是贵一点，但以后方便升级。”
虽然我不再梦想揭示数学上的惊人发现，但我还是努力向这些孩子展示数学的美，好让他们和我一样听到宇宙的声音。有一天，或许他们当中的某个会获得一个发现，尽管我无法理解，却能体会它的优美。
“露西，我能过来和你待一会儿吗？”
“我在研究受人类干扰的动物栖息地，”露西说，“现在地球上的每一块栖息地都包括在内。我们是世界上迄今为止最强的进化动力，已经没有哪个原始角落、没有哪块土地未经人类染指。即使在太平洋的中心，也有我们人类垃圾形成的浮岛。那些乌鸦比火烈鸟成功得多，因为它们适应了我们的存在。”
我恰好相反。后来我读了数学专业。
“这看起来没错吧？感觉太简单了！我第一次通读论证过程时就想到了，再次检查后这些模式变得愈发清晰。我能看到它。”
那个夏天余下的日子我都和露西一起待在沼泽地附近，她教我用一种全新的方式来打量这片荒野。
“那，结果不对？”
我点点头，希望能就此安抚他。
现在我那些植入了增强视觉移植片的同事早就发表了一些我都跟不上的论文，我一直给自己找借口，骗自己说我对那些题目不感兴趣，或者读那些论文时刚好那天不顺。但我是在自欺欺人，读研的几年里一直在拖时间，是一个学生的轻蔑唤醒了我。
我闭着眼睛，手持电话，想找一根救命稻草。我的单身公寓里一片狼藉，堆满了没洗的盘子、吃完的比萨盒子，还有撕掉的论文草稿——这篇论文我估计永远也写不完。
“我想我找到了一个简化证明的办法。”他说。
“当我发现自己无法接受移植片时，和你一起生活的好处就突显出来了。我喜欢生物，但我知道自己不可能和那些拥有增强移植片的人在分子生物领域竞争，所以我选择了生态学，在这个不那么热门的专业里我可以干自己喜欢的事，不用担心条件不利。
他的太阳穴边上有一个增强视觉移植片的端口正闪着银光。
“你说得太对了。他们的证明依赖于详尽地列举了1476种布局，涵盖了所有可能的地图，并运用一台计算机来完成冗长的具体计算工作。”
露西不为所动，“我的论证表明为什么这两个角是相等的。而你的方法绕来绕去，等我到第三页写下‘证明完毕’时，甚至都不记得要证明的是什么了。”
“左边这个角和右边那个角留下的痕迹吻合，所以很明显它们两个相等。这就是证明。”
春天我一节课都没上，整整一个月没有离开过公寓，我甚至不敢确定自己明年九月能不能回去完成我的博士学位。
罗拉和我一起欣赏着她的认证。然后她抬起脸，我俩相视一笑。这一刻，我们一起听到了天籁的声音。
“它一直未得到证明，直到1976年才有两位数学家——艾普尔和哈肯，最终提出了看似成立的证明。但是他们的证明也有争议。”
露西摘下眼镜，随即咬了一口柠檬，当时她脸上的表情实在太经典了。（当然，后来在父母面前挨骂的是我。）
“它们在干吗？”
“没错，生活中你可以用模型做一些事，但是对于数学来说不顶用，因为数学不是关于模型的。它不依赖于世界上任何东西。数学关心的是仅存于思维当中的逻辑结构。至少，要按你想的那样操作，正常的方法是要使用矩阵和线性变换，这样才能保证以严密的方式把一种状态‘移’至另一种状态。现在还是踏踏实实地来解决全等三角形吧，除非你想让我教你坐标几何。”
“但为什么就只你对此忧心忡忡呢？你们这一行肯定拿这些证明很头痛吧？”
“IQ过人的是你，把奖品带回家的是你，总被爸妈表扬的也是你。你能想象生活在你的阴影下是什么感觉吗，知道自己永远不可能像你那样聪明，像你那样富有才干，像你那样出色？”
罗拉，一个勤奋上进的孩子，在我经过她的课桌时把我拦下了。
露西耸耸肩说：“许多学科都利用计算机进行运算。就是计算机接手了这些繁冗的工作，也没有人会认为结果不可靠。”
我扑哧一笑。眼镜晃晃悠悠地挂在露西的小耳朵和小鼻梁上，跟卡通人物一样可爱。