这些公式在朱世杰的书中似乎没有条理，但是，从它们之中，后一个被称作前一个的落一形垛，即前一个的前n项之和是后一个的第n项来看，它们在朱世杰的头脑中是形成了一个完整的体系的。我们再看它们与贾宪三角的关系：上述各级数依次是贾宪三角第2、3、4、5、6条斜线上的数字，而其和恰恰是第3、4、5、6、7条斜线上的第n个数字，这就是为什么朱世杰用两组平行于左、右两斜的平行线将贾宪三角的各个数联结起来。可见，朱世杰已经掌握了三角垛的一般公式：wｗw•９9ｌｉb•nｅt

这一公式与现代通用形式完全一致。欧洲在格雷果里(J·Gregory)的著作(公元1670年)中才首先对招差术加以说明，而普遍公式则出现在牛顿的著作(公元1676年)中。朱世杰指出招差公式的各项系数恰恰依次是各三角垛的积，是他的突出贡献。上式中，n=15，则

即为15日共招兵人数。

三角垛(或落一形垛)：

杨辉的二阶等差级数求和解法通常叫垛积术，朱世杰则把垛积术的研究推向最高峰。《四元玉鉴》卷中“茭草形段”、“如象招数”和卷下“果垛叠藏”三门33题中，都是已知高阶等差级数总和求其项数的问题。为了解决这些问题，需要按照各自的求和公式列出一个高次方程来，然后用“正负开方术”求其根。在这些问题中，朱世杰提出了一系列三角垛公式：藏书网

郭守敬(公元1231—1316年)、王恂(公元1235—1281年)等元朝天算学家曾用招差术推算日、月的按日经行度数。朱世杰也把用招差术解决高阶等差级数求和问题发展到十分完备的程度。“如象招数”门第5问附录中：“(今有官司)依立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺，得数为兵。今招一十五方，问招兵几何？”“术曰：求得上差二十七、二差三十七、三差二十四、下差六。求兵者：今招为上积，又今招减一为茭草底子积为二积，又今招减二为三角底子积为三积，又今招减三为三角落一积为下积。以各差乘各积，四位并之，即招兵数也。”设日数为x，f(x)为第x日共招兵数，则逐日招兵数为(2+x)³，当x=1，2，3，4……时，f(x)之值及逐级差如下：http://www.99lib.net

三角撒星更落一形垛：九-九-藏-书-网

撒星形垛(或三角落一形垛)：

茭草垛(或称茭草积)：

显然，当p=1，2，3，4，5时便是上述三角垛公式。朱世杰还解决了以四角垛之积为一般项的一系列高阶等差级数求和问题，以及岚峰形垛等更复杂的级数求和问题。

上差△=27，二差△²=37，三差△³=24，下差△⁴=6。而上积为n，二积为以(n-1)为底子的茭草垛积，三积为以(n-2)为底子的三角垛积，下积为以(n-3)为底子的三角落一形垛积。因此，求f(n)相当于列出招差公式九-九-藏-书-网

三角撒星形垛(或撒星更落一形垛)：