第十一章 无穷小分割思想
第二节 圆周率
第二节 圆周率
- 目录
- 第一章 中国古代数学综述
- 第一节 春秋前中国数学的萌芽
- 第二节 战国至两汉中国数学框架的确立
- 第三节 魏晋至唐初中国数学理论体系的建立
- 第四节 唐中叶至宋元中国数学的高潮
- 第五节 明清数学——从衰落到艰难的复兴
- 第二章 记数法与计算工具
- 第一节 结绳及甲骨文数字
- 第二章 记数法与计算工具
- 第二节 算筹
- 第三节 珠算盘
- 第四节 ○与数码
- 第三章 算术运算
- 第一节 九九表与乘除法则
- 第二节 分数与小数
- 第三节 比例与比例分配
- 第三章 算术运算
- 第四节 率与齐同原理
- 第五节 筹算乘除捷算法
- 第六节 盈不足术
- 第四章 面积与体积
- 第一节 多边形面积
- 第二节 圆与曲边形、曲面形的面积
- 第三节 多面体体积
- 第四章 面积与体积
- 第四节 圆体体积
- 第五章 勾股测望
- 第一节 勾股定理
- 第二节 解勾股形
- 第三节 勾股容方与容圆
- 第四节 旁要
- 第五节 重差
- 第六章 线性方程组解法
- 第一节 方程
- 第二节 方程术
- 第三节 正负术
- 第四节 损益术
- 第五节 互乘相消法
- 第六节 方程新术
- 第七章 高次方程数值解法
- 第七章 高次方程数值解法
- 第一节 开平方
- 第二节 开立方
- 第三节 贾宪三角
- 第四节 增乘开方法
- 第五节 正负开方术
- 第六节 根与系数的关系
- 第八章 天元术与四元术
- 第八章 天元术与四元术
- 第一节 天元术与四元术的历史
- 第二节 天元术
- 第三节 四元术
- 第九章 垛积招差
- 第一节 等差级数
- 第二节 隙积术
- 第三节 垛积术与招差术
- 第十章 不定问题
- 第一节 勾股数组
- 第二节 五家共井
- 第三节 百鸡问题
- 第四节 大衍总数术与大衍求一术
- 第十一章 无穷小分割思想
- 第一节 割圆术
- 第二节 圆周率
- 第十一章 无穷小分割思想
- 第三节 弧田密率与会圆术
- 第四节 刘徽原理
- 第五节 祖暅之原理与球体积
- 第六节 尖锥术
- 第十二章 中国古代数学的特征与意义
- 第一节 中国古代数学的特征
- 第二节 中国古算的地位和意义
- 第十二章 中国古代数学的特征与意义
- 第五节 祖暅之原理与球体积
- 第六节 尖锥术
- 第十二章 中国古代数学的特征与意义
- 第一节 中国古代数学的特征
- 第二节 中国古算的地位和意义
- 附录
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刘徽认为π=157/50中，周率仍微少，又求出π=3927/1250。
S5=314(64/625)寸2，S5-S4=(105/625)寸2，S4+2(S5-S4)=314(169/625)寸2，因此，确定341寸2为圆面积近似值。利用已经证明过的圆面积公式，314=10·½L，L=62(8/10)(寸)，与直径20寸相约，得L：d=157：50，相当于π=157/50=3.14。许多学者认为刘徽在求得S=341寸2之后，利用S=πr2求得π=3.14，这是错误的。在计算圆周率时，刘徽并未证明S=πr2。恰恰相反，刘徽用π=157/50将与S=πr2相当的公式S=¾d2修正为(157/200)d2。那种错误理解会把刘徽置于他从未犯过的循环推理错误之中。藏书网
南朝祖冲之进一步将π值精确到8位有效数字，相当于求出3.1415926<π<3.1415927。据推测，祖冲之是用刘徽割圆术求得上述值的，那么祖冲之要计算6144、12288边形的面积S10=314159251厘2、S11=314159261厘2、S10+2(S11-S10)=314159271厘2。祖冲之进一步确定π=355/113为密率，π=22/7为约率。约率早被古希腊阿基米德所认识，在中国，南北朝刘宋的何承天也知道这个值。而密率则是个空前的创造，这是分母小于16604的一切分数中最接近π的真值的分数。祖冲之的圆周率值在世界上领先千年左右。1427年阿尔·卡西的圆周率精确值超过了8位有效数字。16世纪末德国奥托、荷兰安托尼兹先后提出了π=355/113。九*九*藏*书*网九九藏书
刘徽指出，上述圆面积公式中的周径“谓至然之数，非周三径一之率也。”因此，需要求这个至然之数，这个至然之数就是圆周率。假定圆直径为2尺，他仍按照上述割圆程序割圆，并利用圆内接正6边形边长等于圆半径的性质及勾股定理，算出正6边形的边心距，进而求出余径r0，再次运用勾股定理，算出正12边形的边长p1，重复刚才的过程，依次计算出圆内接正12、24、48边形的边心距、余径、边长，96边形的边长、面积及192边形的面积：