而当n无限大时，rn→0，那么lim_n→∞〔S_n-1+2(S_n-S_n-1)〕=S

所谓“若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径，则幂不外出矣”。这就证明了圆面积的上界序列与下界序列的极限都是圆面积：S=lim_n→∞S_n。然后，刘徽说：“以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。”(《九章算术·方田章注》)即将与圆合体的边数无限的正多边形分割成无限多个以圆心为顶点，以该多边形的每边为底的小等腰三角形，由于以每边长乘半径是小三角形面积的二倍，而与圆合体的正多边形的边长之和是L，这就证明了S=½Lr。显然，这里包含了几个相当严谨的极限过程，并且是通过对圆面积的无穷小分割，再求其和进行证明的。这种方法与微积分产生前的面积元素法极为接近。数学史家史密斯(D.E.Smith，公元1860—？年)把微积分的发展概括为穷竭法、无穷小方法、流数法和极限四个阶段。刘徽已完成了前两个阶段，并已有明显的极限过程。九*九*藏*书*网http://www.99lib.net

对《九章算术》的圆面积公式S=½Lr，在刘徽之前是以周三径一为基础，将圆内接正6边形周长作为圆周长，正12边形面积作为圆面积，用出入相补原理证明的。刘徽指出，圆的周长与直径“非周三径一之率”(《九章算术·方田章注》)，这个证明是不严格的。刘徽创造了新的方法：他从圆内接正6边形开始割圆，得到一个正6·2ⁿ边形序列。设Sn是6·2ⁿ边形面积，pn是每边长，如图35。九*九*藏*书*网９９ｌｉｂ•nｅt

显然，n愈大，S-Sn愈小，所谓“割之弥细，所失弥少。”(同上)而“割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”(同上)即证明了L=lim_n→∞6·2ⁿP_n。6·2ⁿ边形每边与圆周间有余径rn。以边长乘余径，加到6·2^n-1边形面积上，则大于圆面积，即S_n<S<S_n-1+2(S_n-S_n-1)。