对《九章》提出的阳马体积公式V_y=(1/3)ahb与鳖臑体积公式V_b=(1/6)ahb，刘徽之前是取a=b=h的情形用棊验法证明的。然而在a≠b≠h的情形下，一个长方体分割成的三个阳马并不全等，六个鳖臑也不全等或对称，三个阳马的体积是否相等，六个鳖臑的体积是否相等，并不是显然的，棊验法无能为力。所以www.99lib.net刘徽说：“鳖臑殊形，阳马异体。然阳马异体，则不可纯合，不纯合，则难为之矣。”(《九章·商功章·注》)他另辟蹊径，用无穷小分割成功地完成了这两个公式的证明。为此，他首先提出了一个原理：

刘徽用三个互相垂直的平面平分堑堵的长、宽、高，则其中的阳马分成一个小立方Ⅰ，两个小堑堵Ⅱ、Ⅲ和两个小阳马Ⅳ、Ⅴ，鳖臑分成两个小堑堵

九九藏书

Ⅱ′、Ⅲ′和两个小鳖臑Ⅳ′、Ⅴ′。它们可以拚合成四个全等的Ⅱ—Ⅱ′、Ⅲ—Ⅲ′、Ⅳ—Ⅳ′、Ⅴ—Ⅴ′和小立方Ⅰ。(见图38)显然，在前三个小立方中，亦即在堑堵的¾中，属于阳马与属于鳖臑的体积之比为2：1。第四个小立方中两者体积之比尚未知，但它的两小堑堵的构成与原堑堵完全相似，且其长、宽、高为原堑堵的一半。对这两个小堑堵重九九藏书网复上述分割、拚合，即“置余广、袤、高之数各半之，则四分之三又可知也。”如此继续下去，“半之弥少，其余弥细，至细曰微，微则无形。由是言之，安取余哉？”从而在整个堑堵中证明了刘徽原理。其中的极限过程是非常明显的。

刘徽原理及阳马、鳖臑体积公式的证明是刘徽体积理论的核心。对其他多面体，刘徽都是将它们分解成有限个长方体、堑堵、阳马、鳖臑，求其体积之和解决藏书网之，从而把他的体积理论建立在无穷小分割基础上。19世纪数学大师高斯曾提出四面体体积的解决不借助无穷小分割是不是不可能的猜想。这一猜想后来成为希尔伯特《数学问题》第三个问题的基础，并由希尔伯特的学生德恩作了肯定性解决。实际上，刘徽早在他们之前1600年就开始考虑这个问题。

即在一个堑堵中，恒有V_y:V_b=2:1

吴文俊把它称为刘徽原理。显然，只要证明了这个原理，由堑堵体积公式，上述两公式是不言而喻的。问题归结为证明刘徽原理。

邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。