尼古拉和丹尼尔·伯努利都知道这很荒谬。丹尼尔写道：

1936年，经济学家约翰·伯尔·威廉姆斯（John Burr Williams）在《经济季刊》（Quarterly Journal of Economics）上发表了一篇题为“投机和结转”（Speculation and the Carryover）的文章。这篇文章是关于棉花投机者的，这些投机者以低价囤积棉花，期望在一年或几年后卖掉赚取利润。投机者“赌”下一年棉花产量不佳，然后导致价格上涨。威廉姆斯注意到这一行动中存在很强的投机成分。比如说，没人能够预测天气。据他观察，成功的投机者必须要首先占据胜率，他必须要了解一些市场并不了解的信息。

那么，通过玩这个游戏你会变得无穷富有吗？不能。如果你不信，请抛硬币试试。看看最终你到底能赢多少。

门格尔举了一个最可怕的反例，奖金数额不是以美元或者达克特为单位来表示的，而是用效用值（utile）表示。效用值是假定的效用单位。游戏中你赢得的是1、2、4、8效用值，具体数额取决于抛掷的次数。游戏的价值，现在也用预期效用来表示，是无穷的。一个理智的人恐怕会付出一切代价来玩这个游戏——这一点仍然是非常荒谬的，因为他赢得的效用值很可能会非常低。

并不是每个人都认同他的看法。萨维奇时代，对数效用已经呈现出过时的事态。这一概念遭受的打击之一就是人们意识到对数效用并不能彻底解决圣彼得堡悖论。20世纪30年代，维也纳数学家卡尔·门格尔（Karl Menger）指出只要对圣彼得堡悖论加以修正，就可以轻松解决伯努利的解决方式没有解决的问题。你只需要提高奖金的吸引力即可。将奖金提高为2、4、16、256达克特……而不是此前连续抛掷所获得的1、2、4、8达克特。通过这样的安排，你可以让奖金快速增长从而使预期效用仍为无穷数。

你或许更愿意把这种赌博看作是成长股的首次公开募股。人们在估算一家新公司的前景时一定会总结出多种呈现不同概率和收益率的情况。他们总会在心里计算出某个合理价格下获得的收益，然后据此购买股票。伯努利所举的例子说明在某些情况下，传统的推理能够让你找到值得购买的股票，无论价格多高。

假设一家赌场为顾客提供了玩这个游戏的机会并设定最大盈利为10亿美元，那么这场游戏价值几何呢？wｗｗ.9９lib•neｔ少得多！假设奖金起始数额为1美元，那么正常来看，第31次抛掷结果为人头朝上的奖金是1073741824美元。对于赌场来说，最合理的做法就是将游戏限定在30次抛掷内，然后将这10亿美元奖励给30次抛掷结果皆为反面朝上的人。那么这个删减版的游戏期望值仅为15.93美元。

对数效用函数没有“幸福水平”。图4-1中的曲线到右上方时似乎开始变平，但永远不会停止上升。意思就是，比方说，获得对数效用的某个人的财富每增加10倍，他的幸福程度都是相同的。也就是说，你的财富净值从1万美元增加到10万美元时你的幸福感与财富净值从10万美元增加到100万美元或者从100万美元增加到1000万美元时是一样的。

解决这一悖论简直轻而易举。因为彼得根本无法获得无穷财富来兑现游戏的潜在支出。没人可以拥有无穷财富。因此，无穷级数的大多数条件是无法满足的。获得1000000⁴美元奖金的概率是极其微小的，根本不值得你去计算。而且根本没有实际意义，因为没人能够拥有这么多钱兑现给别人。

对数效用同样也不是好的贫穷模式。因为它暗示当你失去最后100万美元的90%和失去最后一角钱的90%时一样痛苦。这很荒谬。

为了找到更好的解决方式，“幸福水平”的概念应运而生。这是为效用设定一个假定的极限值。计算一下你需要多少钱才能满足所有的物质欲望或需求。这个金额总值以及相应的效用，就是“幸福水平”值。

你或许会告诉自己说你已经了解了这一点。那么好吧，伯努利的真正贡献就是创造了一个新词。这个词被翻译成英语“utility”（效用），描述的是人们赋予金钱的主观价值。伯努利认为人们根据本能采取行动以最大限度获得效用——不一定是最多钱（美元或是达克特）。伯努利指出：“物品的价值绝不能建立在其价格基础上，而必须建立在其产生的效用基础上。物品的价格只取决于物品本身，而且对任何人来说都一样；然而，效用取决于做出评估的人所处的特定环境。”

伯努利用效用来解决圣彼得堡悖论的问题。假设保罗赋予收益的价值与其财富成反比，那就是说保罗赋予2达克特收益的价值并不是1达克特收益价值的2倍。你赚到第二个1达克特，就像你赚到第二个100万一样，感受绝对和第一次不一样。

约翰渐渐变成了一个内心充满怨怼的人，他把这种沮丧感都发泄到自己的儿子丹尼尔（1700—1782）身上。丹尼尔既是数学家，也是物理学家。他发表了著名的法罗牌赌博分析文章，后来还发现了被应用于机翼设计方面的“伯努利效应”（Bernoulli effect）。约翰对自己儿子取得的成就并不感到高兴。当父子俩在1734年一起被授予一项法国科学院奖项时，约翰将自己的儿子丹尼尔赶出了家门。约翰抱怨称获奖的应该只是他自己，而不应该是他们两个人。1738年，丹尼尔出版了一本非常重要的著作，名为《流体力学》（Hydraulica）。第二年，他的父亲用自己的名义出版了内容几乎相同的一本书，而且虚报日期为1732年。通过这一计策，约翰可以堂而皇之地声称他儿子出版的书系剽窃。

接下来的几个世纪里，经济学思想家们都醉心于对数效用。英国经济学家威廉·斯坦利·杰文斯（William Stanley Jevons，1835—1882）认为对数效用适用于消费品和财富——“随http://www.99lib.net着人们生活必需品（比方说普通食品数量）的增加，最后使用的部分所产生的效用或者利益会随之降低。”你或许会说这就解释了为什么让你吃到饱的自助餐厅依然存在。1954年，伦纳德·萨维奇将对数曲线称为“每个人的对数函数原型”——这是个近似值，合理解释了大多数人在大多数时间里对他们所遇到的金钱数额所赋予的价值。

这只是第一次抛掷人头朝上的情况，还有很多其他情况能够让保罗赢钱。如果第一次抛掷结果是反面朝上，彼得会接着抛。如果第二次结果是人头朝上，那么保罗能赢2达克特。赢2达克特的概率是1/4，因为必须要确保第一次抛掷结果是反面朝上（1/2概率），而且第二次结果为人头朝上（1/2概率）。那么，用概率1/4乘以2达克特，结果就是1/2达克特。

丹尼尔用拉丁文发表了上述言论。这种赌博被称为“圣彼得堡游戏”或者“圣彼得堡悖论”。从此，人们便对其产生了些许兴趣。约翰·梅纳德·凯恩斯在1921年出版的《概率论》（Treatise on Probability）一书中对这一悖论有所提及，使其成为20世纪几乎所有经济学家智力架构的组成部分。伯努利的赌博游戏也出现在了冯·诺依曼和摩根斯特恩所写的《博弈论与经济行为》一书中，在肯尼斯·阿罗（Kenneth Arrow）、米尔顿·佛里德曼（Milton Friedman）和保罗·萨缪尔森等人的论文中也都出现过。

无穷期望值对于任何在现实生活中想要用数学方法制定决策的人来说都是一个大问题。因为这个值暗示你为了能够获得玩这个游戏的权利，付多少钱都值得。如果赌场规定需要支付100万美元手续费才能玩这个游戏，那么由此看来，理性的消费者都应该会抓住机会。如果赌场收取1万亿美元手续费，情况也是如此。

对此我们该做些什么呢？或许我们能做的不多。保罗·萨缪尔森认为增加了筹码的圣彼得堡悖论并没有“给经济学家带来恐慌”。这个问题的要点在于伯努利的效用函数在对待财富极限的问题上从心理上讲是不现实的。

1美元的价值对于富人来说比穷人低多少呢？诚恳的答案是“不一定”。对此伯努利举了一个例子，据他描述，如果一个被囚禁的富人还差2000达克特才能获得自由，那么这个富人赋予这2000达克特的价值比没有如此迫切需求的穷人赋予的价值要高得多。

后来丹尼尔九九藏书网离开父亲，搬到了遥远的圣彼得堡，这多少应该算是一种解脱。他在那里为西化的俄罗斯法庭工作。丹尼尔写了一篇非常重要的文章，这篇文章对20世纪经济学家们接受克劳德·香农和约翰·凯利的思想具有很大的影响力。文章讲的是伯努利家族另外一名天赋异禀的成员尼古拉·伯努利设计的一次虚构的赌博，他是瑞士巴塞尔大学（University of Basel）的法学博士。尼古拉是丹尼尔的堂兄。这次赌博涉及翻倍奖金的形式，这或许会让人们想起凯利从《64000美元的问题》这档知识问答节目中获得的灵感。1783年，丹尼尔对此描述如下：

这要合理得多。游戏本身的价值并没有达到无穷大，而只是几美元而已。这种解惑方式正是冷静的现实主义者寻求的答案。但是哲学家和数学家们，甚至经济学家们，很少能够接受这样一种解决方式。他们大多数人都认为我们可以假装彼得拥有无穷财富，那么如果我们说保罗为了玩这个游戏愿意付出任何代价岂不仍然很可笑吗？

丹尼尔·伯努利来自18世纪的一个充满疯狂竞争的天才家族。发现大数定理的雅各布正是丹尼尔的伯父。雅各布教他的弟弟约翰学习数学。约翰和雅各布一样聪明，但也同样自负。伯努利兄弟俩有个非常不幸的习惯，就是总爱互相竞争研究同一个问题。他们总是发表文字严厉抨击对方。

可以绘制效用与财富的对比图（见图4-1）。如果人们赋予金钱的价值与他们的财富值成正比，那么图中将会出现一条直线。而根据伯努利提出的概测法，这条线是一条曲线。这就反映出一个事实，即一大笔金钱收益才会对富人造成一定的影响，而要产生相同的影响力，穷人只需要一小笔即可。曲线的形状（以及伯努利提出的金钱收益与既有财富成反比的法则）描述的是一个对数函数。伯努利的概测法因此被称作“对数效用”。

丹尼尔·伯努利的看法正是如此。他提出了一个不同的解决方式，对未来的经济学思想产生了深远影响。伯努利将金钱和人们赋予金钱的价值加以区分。对于一个亿万富翁来说，1000美元只是零钱而已。对于一个饥饿的乞丐，1000美元可是一大笔财富。经济获益（或者损失）的价值取决于受其影响的人的财富。

效用上限所起的作用和赌场能够偿付的金额上限类似。它将无穷级数缩短为合理的有限值。

在文章末尾的一个“概率注释”中，威廉姆斯说，“如果一个投机者习惯于将他的资金加上收益（或者损失）冒险投入到连续的每一笔交易中，那么他应该选择所有价格的几何平均数，而不是算数平均数作为可能的价格分布中的代表性价格。”威廉姆斯对这个有些神秘的观点并没有详细说明。这一观点和伯努利以及凯利的观点有很大关系。威廉姆斯是杰出的经济学家，他认为可以通过股息估算股票的价值，也因这一观点（现在看有些过时）而闻名。尽管威廉姆斯声名远播，但他上述的言论并没有引起太多注意，而且很快就被遗忘了。

换句话说就是，如果你的朋友拥有的财富是你的2倍，那么在赢了100美元赌注后他高兴的程度将只是你赢得相同赌注时高兴程度的一半。当然，付账时的难过程度也是你的一半。

平均来看，保罗预期能够赢多少钱呢？要计算出随机事件的数学期望值，你需要用概率乘以价值。第一次抛掷出现“人头”朝上的概率为1/2，而出现这种结果保罗能够赢1达克特（相当于现在的40美元左右）。1/2乘以1达克特，最后的期望值为1/2达克特。

这或许听起来有些道理，当然也可能并无道理。但有一点值得注意，这种财富值呈10倍增长的案例让人难以消化。拥有100亿美元和10亿美元之间有明显差别吗？如果你考虑的只是“过得不错”的话，那么100亿美元和10亿美元对你来说并没什么差别。那么，拥有10万亿美元比拥有1万亿美元更加荣耀吗？如果你只想成为世界上最富有的人的话，那么答案同样也是没什么差别。

这就是一种人为的困境。大多数时候，一个富人赋予2000达克特收益的价值比穷人要低。伯努利提出了一个概测法。他写道：“在不存在特例的情况下，任何微小的财富增长所产生的效用都将与此前拥有的物品数量成反比。”

这就意味着无穷级数的条件要向下调整来解释获得巨大收益时收益价值递减的情况。尽管数列仍是无穷的，但却变成了一个规范化的、合并的无穷数列。你可以计算1/2+1/4+1/8+1/16……的结果，尽管数列无穷尽，总和却永远无法达到1。当伯努利的期望值数列也进行如此调整后，最终也会合并成为一个有限的、适当的总和。

同样，赢4达克特的概率为1/8，那么期望值还是1/2。赢8达克特的概率为1/16，赢16达克特的概率为1/32……以此类推。上述每种情况下期望值都是1/2达克特。因此，保罗预期获利总值应该是以1/2达克特为一般项的无穷级数，也就是说他的预期收益是无穷的。