这幅图将凯利准则比作一台弹球机。这里的美元金额代表你对一场非常有利的抛硬币赌博活动所下的赌注。如果人头朝上，你可以拿回6倍赌金，背面朝上即为输。

谬论的错误之处正在于这种可能导致灾难的微小概率。有很多更温和的资金管理模式可以比凯利准则更好地处理运气不佳的情况。当然，它们的平均复合收益也会较低。

结果为2次人头和2次背面的情况一共有6条路线。这是“运气平平”的情况，也是最常见的结果。4次赌博后，100美元初始赌金变成了324美元。

是，也不是。产出结果的中值随着时间呈指数增加，这是好的方面。因为很多资金管理系统在最幸运情况除外的其他情况下都导致了破产。也有其他一些系统避免了破产，但获得的收益远远低于凯利系统。凯利系统对其他任何竞争系统的优势随着时间变得越来越明显。

第二次抛掷时，你必须调整赌金，保持下注金额为现在资金总额的40%。第一次抛掷产生9９liｂ•ｎet的两种不同的结果还会导致两种不同的情况。请注意一下路径的发散和收缩。第二次抛掷后要获得180美元有两条不同的路径。

为了保持图尺寸的合理性，我只绘制了4次赌博的结果。那么，长期来看情况会更好吗？

一旦你开始赌博，会发生什么事呢？

在这里，财富中值也是324美元，这比其他任何系统所达到的中值都要高。

图4-4显示了前4次抛掷可能发生的所有情况。从最上方开始，你的起始资金为100美元，你拿出40%——根据凯利下注法——然后抛硬币。

这是非常幸运的情况。通常来讲，人头朝上和背面朝上的结果都可能会出现。虚线构成的之字形路线代表的是出现的结果依次为背面、人头、背面、背面的情况。这个球会和其他3个球一起掉进一个槽中，因为产生这一结果共有4条不同的路线，最后价值为64.80美元。

萨缪尔森和默顿的论证要点不难理解。下面我将试着用ｈtｔp://www•９9ｌib.neｔ一幅图来呈现，见图4-4。

下注者的胜率高达200%（每投入1美元，你都有50%的机会获得6美元，其价值即为3美元。下注1美元的平均收益为2美元，或者初始赌金的200%）。赌博的赔率为5：1。那就是说根据凯利公式“胜率/赔率”，结果是2/5或者40%，即凯利赌徒需要投入资金总额的40%。

希腊语的第五个字母“ε”代表一个任意小的量（非数学界人士或许会称其为一个“iota”）。萨缪尔森在一篇文章的结尾评论道：“格特鲁德·斯泰因从未说过这句话：ε不等于‘0’。”换言之，凯利的信奉者错误地以为微小的（ε）破产风险值可以被当作零风险一样忽略不计。如果使用优质的降落伞从飞机上跳下来，几乎可以确定你能安全着陆。那么，为什么不是所有人都玩这种刺激的跳伞运动呢？答案是，人们对风险的承受力不同。出现大灾难的概率很微小，但结果可能是非常突出的，九*九*藏*书*网而不是0。胆小鬼爱丽丝可能会理性地拒绝跳伞，即使她知道出现偏差的可能性“几乎为零”。

不断扩大的概率网络就像对量子论的解释一样，每个随机事件都会将世界分解成两个平行的宇宙。第四次抛掷时，共有16个不同的平行宇宙，对应人头朝上和背面朝上两种情况可能产生的每种结果。图4-4以弹球机的形式对此加以说明。每个球代表了从上到下16条可能的之字形路线的一种。

凯利系统无法做到的就是掌控运气。在运用凯利系统时，如果运气不佳，会导致最终财富值低于中值。如果发生这种情况，那么你可能会比运用其他系统获得的结果更糟。

最糟糕的结果就是4次皆输，最终资金总额只剩下12.96美元。

从另一个层面来看，长远的效果并没有更好。随着时间推进，不同情况下贫富两极分化越来越严重。富人变得更富，而穷人变得更穷。

凯利系统导致的财富分布（不同情况下或者平行宇宙中）就像曼哈顿的财富分布一样，存在贫富两极分化的情况，中产阶级比你想象的少得多。

结果出现3次人头和1次背面的情况也有4个平行宇宙，创造的财富值为1620美元。

底部的球槽代表4次抛掷后的最终财富。最右边的球代表最幸运的情况，即4次皆胜的情况。这种情况下，你的最终财富会达到8100美元。

大多数人对上述这些结果都感到有些不安。最佳情况和最糟情况之间的差别如此巨大。在这16种结果中，有5种情况会让你的最终财富少于初始资金，而且是在4次如此有利的赌博情况下。

16种结果中，有1种结果是你的最终资金远远少于初始资金，所以凯利对避免破产的保证从某种程度上讲是空洞的。好吧，至少你没有输掉所有钱。９9lib•net你仍然有1/16的机会在4次不幸的赌博后输掉87%的资金。

或许是时候回顾一下精灵的承诺了。在16种可能出现的结果中，几何平均收益为324美元。没有任何一种资金管理系统的几何平均收益值能够超过凯利系统。

在20世纪70年代，萨缪尔森和默顿在许多杂志上发表方程式来证明几何平均数最大化原则的错误。他们的严谨和博学让很多他们担心会受凯利“谬论”欺骗的投资组合经理人、金融分析师和投资者接受了他们的观点。

这很好。凯利准则的另一个优点就是将财富中值最大化。中值是统计学测量值，对一系列数值进行排序，从低到高，选出最中间的那个数值即为中值。中值很受房产中介追捧，而且在曼哈顿这种地方是不可或缺的，因为物价差异太大。

从100美元资金处向下引出两条对角线，代表第一次抛掷可能出现的两种结果。要么你输掉这40美元（还剩60美元），要么你赢了，获得6倍赌金（加上没动的60美元，你一共获得300美元）。