当可能出现的结果的概率并不完全相同时，你需要根据其概率进行衡量。方法之一就是将预期财富对数最大化。遵循此法则的任何人都表现得好像拥有对数效用一样。

伯努利挑战了这一观点。他说：“对于某个人来说，投资某个受质疑的企业或许是理智的，但对于其他人来说，这么做或许是不理智的。”尽管他并没有提到股票市场，但他谈论的是一个从大洋彼岸运货的“彼得堡商人”。这个商人就是在赌博，因为运货船有可能会沉没。他可以选择为货船上保险，但是根据算数平均数来衡量，保险通常是不利的赌博形式，因为保险公司要从保险费中获取利润。

看一看几何平均数。两个概率相同的结果相乘——$200000×$0——然后求平方根。由于任何数的0倍都为0，所以几何平均数为0。接受这个数值为本次赌博的真正价值，那么你将宁愿守住自己的10万美元资产而不去赌博。

这篇文章的内容实际上并不是关于圣99lib•net彼得堡悖论或者效用的。这两项内容只是作为插入部分出现在文章中。伯努利的理论认为风险投资应该通过产出的几何平均数进行估算。

计算任何平均数都是为了让生活更简单。要记住棒球选手曼尼·拉米瑞兹（Manny Ramirez）的击球率0.349比记住他整个职业生涯中的每场击球得分要容易得多。击球率或许比成堆的原始数据更能让人了解一名选手的能力。

伯努利认为理智的人总是能将产出的几何平均数最大化，尽管他们自己并没有意识到这一点：“由于我们的所有命题都与经验完美结合，因此将其看作是依赖于不稳定假设的抽象因素而忽略掉的做法是错误的。”

然而，伯努利的文章对亨利·拉塔内（Henry Latane）产生了直接影响。将这些思想介绍给经济学家们的正是拉塔内，而不是凯利。

1954年1月，《计量经济学》杂志首次刊出了伯努利1738九九藏书年发表的那篇提及圣彼得堡悖论的文章的英文译本。西方经济学家中，几乎没有人读过论文原版，因此文章的完整内容并没有广泛流传。英文译本的出版表明长期以来人们都曲解并低估了伯努利的成就。

几何平均数几乎总是小于算数平均数（特例就是所有平均值都完全相同时，这两种平均数也相同）。这就是说，计算几何平均数的方法是估算风险命题更为保守的方法。伯努利认为这种保守主义更好地反映出人们对风险的厌恶。

根据伯努利的观点，当赔率向有利方向倾斜时，赌博才有意义。当赌博双方存在财富差距时，赌博活动也能有意义。因此，伯努利解决了华尔街最古老的一个困惑。据说每次交易股票时，买家都认为自己占据优势，卖家也如此。那么，这就说明买卖双方的想法不可能都对。

但人们并不是这样推理问题的。如果你和你的邻居都接受这次赌博，那一定是疯了。因为相较于获胜时拿到双倍资产，一旦失败，hｔｔp://ｗｗw.9９lｉｂ•nｅt你的损失可要大得多。

在棒球比赛和很多其他情况下，通常计算出算数平均数就足够了。为什么我们还要不厌其烦地计算几何平均数呢？

由于在风险投资中，几何平均数总是小于算数平均数，“公平”赌博实际上是不利的。伯努利说这是“大自然在警告人们远离赌博”（伯努利并未考虑到人们从赌博活动中获得的欢愉）。

假设现在你拥有10万美元，那么硬币抛出后，你要么拥有20万美元，要么一无所有，出现这两种结果的概率相同。算数平均数为（200000+0）/2，即10万美元。如果你认为10万美是本次赌博的公平恰当的价值，那么你似乎应该对是否接受这次赌博持冷漠态度。因为你现在已经拥有10万美元，而硬币抛出后你的预期资金总额仍为10万美元，根本没有变化。

大多数人高中毕业后可能会忘记什么是几何平均数。它是n个值连乘所得结果的n次方根。

从读书的时候起，你可能就记得有两种“平均数”。算数平均数是普通的那种，即把一系列数值相加求和然后除以数值的个数，得出的结果就是算数平均数。击球率就是这样算出来的。当你在电子数据表中输入公式“=AVERAGE（）”，计算机也是按照这个方法计算的。

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伯努利表示一个相对贫穷的商人或许会通过买保险的方式改善几何平均数（尽管保险“定价过高”），而同时比较富有的保险公司也通过卖保险的方式改善自己的几何平均数。

从事件发生的年代顺序来看，人们对凯利是否看过伯努利的文章提出质疑也是合情合理的，但并没有证据证明这一点。凯利并没有引用伯努利的观点，如果他真的了解伯努利的论断，那么几乎可以确定他一定会引用到他的文章中。作为一名通信科学家，凯利阅读过《流体力学》的可能性几乎９９ｌib•nｅt为零。

如果可以的话，没有多少人愿意计算某个数值的n次方根，所以求几何平均数的事大多是由统计学家完成的。当然，今天没有人会手动计算这两种平均数。在电子数据表中键入公式“=GEOMEAN（）”就可以计算出几何平均数。

伯努利的言论与约翰·凯利在1956年发表的文章有非常紧密的联系。凯利的法则最终可以被重新陈述为这样一个简单的法则：选择赌博或者投资时，选择最终结果的几何平均数最高的那个。这一法则就是“凯利准则”，比凯利公式“胜率/倍率”在计算赌注大小方面应用更加广泛。

伯努利的解释始于赌博。一场“公平”赌博是指期望值为0的赌博，而期望值就是计算同等概率下出现的结果的算数平均值得来的。下面举一个所谓公平赌博的例子。你把全部净资产都押在抛硬币游戏中，你的对手是和你净资产相同的邻居。赌博的结果要么你获得双倍资产，要么一无所有。获胜者将获得失败者的房子、车子、票子，所有的一切。